1.1. HIMPUNAN
Salah
satu kemampuan yang kita kuasai setelah kita mempelajari logika proposisi
adalah kemampuan untuk membedakan. Membedakan apakah tautologi,kontradiksi atau
bentuk proposisi yang lain, membedakan apakah proposisi bernilai bernar atau salah,membedakan
apakah kuantor universal atau existential.
Untuk
dapat menguasai teori himpunan, kemampuan untuk membedakan sangat diperlukan,
karena himpunan merupakan kumpulan benda atau ibjek yang didefinisikan secar
jelas. Himpunan dapat dipandang sebagai kumpulan benda-benda yang berbeda
tetapi dalam satu segi dapat ditanggapi seabgai suatu kesatuan. Objek-objek ini
disebut anggota atau elemen himpunan.
1.2
Cara Penyajian Himpunan
1)
Enumerasi
Setiap
anggota himpunan didaftarkan secara rinci.
Contoh
· Himpunan
empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.
· -Himpunan
lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.
· C = {kucing, a,
Amir, 10, paku}
· R = { a,
b, {a, b, c}, {a, c} }
· C = {a,
{a}, {{a}} }
· K = { {} }
· Himpunan 100
buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }
·
Himpunan bilangan bulat
ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.
· Keanggotaan
· x A :
x merupakan anggota himpunan A;
· x A :
x bukan merupakan anggota himpunan A.
· Contoh 2. Misalkan:
· A = {1, 2, 3,
4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c}
}
· K = {{}}
· maka
· 3 A
· {a, b,
c} R
· c R
· {} K
·
{} R
2.
Menggunakan simbol standar (baku)
Suatu himpunan dapat dinyatakan dalam
suatu simbol standar (baku) yang telah
diketahui secara umum oleh masyarakat
(ilmiah).
Contoh 3 :
N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }
Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2,
... }
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
Himpunan yang universal (semesta
pembicaraan) dinotasikan dengan U.
Contoh 4 :
Misalkan
U = {1, 2, 3,
4, 5}
dan A = {1, 3, 5} merupakan himpunan bagian dari U asd.
3.
Menuliskan
kriteria (syarat) keanggotaan himpunan
Suatu himpunan dapat dinyatakan
dengan cara menuliskan kriteria (syarat)
keanggotaan himpunan tersebut.
Himpunan ini dinotasinya sebagai berikut :
{ x ⎥ syarat yang harus dipenuhi oleh x }
Contoh :
· A adalah himpunan bilangan asli yang kecil dari 10
A = { x | x ≤ 10 dan x
∈ N } atau A = { x ∈ N | x ≤ 10 }
yang ekivalen dengan A = {1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
· M = { x | x adalah mahasiswa yang
mengambil kuliah matematika diskrit}
Atau
M = { x adalah mahasiswa | ia mengambil kuliah
matematika diskrit}
4. Menggunakan Diagram Venn
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan cara menuliskan
anggotanya dalam
suatu gambar (diagram) yang dinamakan diagram venn.
Contoh 6 :
Misalkan S = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5}
dan B = {2, 5, 6, 8}.
Diagram Venn:
Terkait dengan masalah keanggotaan, suatu himpunan
dapat dinyatakan
sebagai
anggota himpunan lain.
1.3 Operasi Himpunan
Ada beberapa operasi himpunan yang
perlu diketahui, yaitu : irisan , gabungan, komplemen, selisih dan beda
setangkup.
1. Irisan (intersection)
Irisan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda
‘∩ ‘.
Misalkan A dan B adalah himpunan yang
tidak saling lepas, maka
A ∩ B =
{ x | x ∈ A
dan x ∈ B
}
Jika dinyatakan dalam
bentuk diagram Venn adalah :
2. Gabungan
Gabungan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh
tanda ‘∪‘.
A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }
Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah :
Contoh :
o
Jika A = {
2, 3, 5, 7} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka A ∪ B = { 1, 2, 3,
4, 5, 7}
o A ∪ ∅ = A
3.
Komplemen (complement)
Komplemen dari suatu
himpunan merupakan unsur -unsur yang ada pada himpunan
universal (semesta
pembicaraan ) kecuali anggota himpunan tersebut. Misalkan A
merupakan himpunan yang
berada pada semesta pembicaraan U, maka komplemen dari
himpunan A dinotasikan
oleh :
A = { x | x ∈ U dan x ∉ A }
Jika dinyatakan dalam b entuk diagram Venn adalah :
Contoh :
Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },
jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A = {2, 4, 5, 6, 8}
jika A = { x ∈ U | x habis dibagi dua }, maka A= { 1, 3, 5, 7, 9 }
Contoh :
A = himpunan mahasiswa Teknik Informatika
B = himpunan mahasiswa yang tinggal di Kos
C = himpunan mahasiswa angkatan 2018
D = himpunan mahasiswa yang mengambil matematika diskrit
E = himpunan mahasiswa yang membawa motor untuk pergi ke
kampus
a. Pernyataan
“Semua
mahasiswa Teknik Informatika angkatan 2018 yang membawa motor untuk pergi ke
kampus” dapat dinyatakan dalam notasi operasi himpunan sebagai berikut :
(A ∩ C)
∩ E
b. Pernyataan
“Semua mahasiswa Teknik
Infomatika yang tinggal di Kos dan tidak mengambil matematika diskrit” dapat
dinyatakan dalam notasi operasi himpunan sebagai berikut :
A ∩ B ∩ D
c. Pernyataan
“semua
mahasiswa angkatan 2018 yang tidak tinggal di Kos atau tidak membawa motor
untuk pergi ke kampus” dapat dinyatakan dalam notasi operasi himpunan sebagai
berikut :
C ∩ (B ∪ E)
4.
Selisih (difference)
Selisih antara dua buah himpunan
dinotasikan oleh tanda ‘– ‘.
Misalkan A dan B adalah
himpunan, maka selisih A dan B dinotasikan oleh
A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B } = A ∩ B
Contoh :
Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = {
2, 3, 5, 7}, maka A – B = { 1, 4, 6, 8, 9 }
dan B –
A = ∅
5.
Beda Setangkup (Symmetric Difference)
Beda setangkup antara dua buah
himpunan dinotasikan oleh tanda ‘ ⊕ ‘.
Misalkan A dan B adalah
himpunan, maka beda setangkup antara A dan B dinotasikan
oleh :
A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B)
= (A – B) ∪ (B – A)
Jika dinyatakan dalam
bentuk diagram Venn adalah :Notasi:
Contoh :
Jika A = { 2, 3, 5, 7} dan B = { 1, 2,
3, 4, 5 },
maka
A ⊕ B = { 1, 4, 7 }
Beda
setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:
·
A ⊕ B = B ⊕ A (hukum
komutatif)
·
(A ⊕ B ) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C ) (hukum asosiatif)
A1 ⊕ A2 = { x | x E A1 , x
E A2 , x E A1 ∩ A2 }
A1 = { 3,,6,9}
A2 =
{2,4,6,8,10}
A1 ∩ A2 = {6}
·
|
A1| = 3 , | A2| = 5
| A1 x A2
| = 5
6.
Himpunan
Subset ( C ) atau Himpunan bagian
D = { 8,10}
,
A1 Tidak subset A2
Semua anggota D adalah anggota
Himpunan A
Sebutkan semua subset dari A1 = { 3, 6, 9 }
1.
{3}
2.
{6}
3.
{9}
4.
{3,6,9}
5.
{3,6}
6.
{6,9}
7.
{3,9}
8.
{
}
7. Himpunan
Kuasa
P ( A1) = {
{3}, {9}, {3,6,9}, {3,6}, {3,9}, {6,9},{ }
Himpunan dalam himpunan
8. Himpunan
Sama (=)
Ketika anggotanya sama
persis
· Himpunan sama sudah pasti
ekivalen
·
Himpunan ekivalen belum
tentu himpunan sama
A1
= { 1,2,3} , A2 = { 1,2,3}, A3 = {4,5,6}
A1
sama dengan A2 , A1 ≠ A3 , A1 ≡ A3
9. Himpunan
Ekivalen
Dua buah himpunan atau lebih disebut lainsatu sama lain, apabila
banyaknya anggota himpunan-himpunan tersebut sama. Artinya dua himpunan atau
lebih disebut ekuivalen apabila antara setiap anggota himpunan yang satu
memiliki hubungan satu-satu dengan setiap anggota himpunan lainnya. Dinyatakan
himpunan Q yang ekuivalen dengan himpunan R dalam notasi Q ~ R. Maka dapat
disimpulkan bahwa Q ~ R, bila n(Q) = n(R) atau banyaknya nggota himpunan Q sama dengan
banyaknya nggota himpunan R. Untuk lebih jelas silahkan memperhatikan contoh di
bawah ini.
Contoh 1:
Q = {nama hari dalam seminggu yang diawali dengan huruf S}
R = {senin, selasa, sabtu}
Q = {a, b, c} n(Q) = 3, maka
Q ~ B, karena n(Q) = n(P).
Contoh 2:
P = {1, 2, 3, 4}, n(P) = 4
Q = {v, w, x, y}, n(Q) = 4
Maka, P ~ Q, akrena n(P) = n(Q)
Q = {nama hari dalam seminggu yang diawali dengan huruf S}
R = {senin, selasa, sabtu}
Q = {a, b, c} n(Q) = 3, maka
Q ~ B, karena n(Q) = n(P).
Contoh 2:
P = {1, 2, 3, 4}, n(P) = 4
Q = {v, w, x, y}, n(Q) = 4
Maka, P ~ Q, akrena n(P) = n(Q)
Didalam dua atau lebih himpunan, mungkin
saja tidak ada anggota yang sama satu buah pun. Himpunan yang tidak memiliki
anggota yang sama satu pun disebut himpunan saling lepas (disjoint). Dua
Himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak
memiliki elemen yang sama.
A // B , Jika A ∩
B = { }
DAFTAR PUSTAKA
Matematika
Diskrit Sekolah tinggi Teknologi Telkom pdf
Materi
Himpunan pdf
Catatan
Matematika Diskrit Cahyo saputra
Posting Komentar